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संख्या पद्धति (number system)

संख्या पद्धति (number system)


NUMBER SYSTEM

संख्या का स्थानीय मान- किसी संख्या के किसी अंक का स्थनीय मान उस अंक में उसके आगे के अंकों के बराबर शून्य लगाने पर प्राप्त होता है। जैसे संख्या 345 में 3 का स्थनीय मान 300 होगा।
 

जातीय मान - किसी संख्या में किसी अंक का जातीय मान वह मान है। जो उसका अपना मान है । चाहे वह किसी भी स्थान पर हो जैसे 403380 में 4 का जातीय मान 4 ही होगा।
प्राकृतिक संख्याएं - वेसंख्याएं हैं जिनसे वस्तुओं की गणना की जाती है। प्राकृतिक संख्याएं कहते हैं जैसे 1, 2, 3, 4,……………. यह अनंत तक होती हैं । इन्हें n से प् प्रदर्शित किया जाता है।
 

पूर्ण संख्याएं- यदि प्राकृत संख्या मेंशून्यको भी सम्मिलित कर लिया जाए तो उन संख्याओं को पूर्ण संख्याएं कहते हैं। जैसे 0,1,2,3,4,5,6……. यह अनंत तक जाती हैं।  इन्हें w से प्रदर्शित किया जाता है।

पूर्णांक संख्याये- पूर्ण संख्याओ में ऋणात्मक संख्याओं को भी शामिल कर लेने पर पूर्णांक संख्याये प्राप्त होती हैं।
………-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,,4………
शून्य न तो ऋणात्मक है और न ही धनात्मक है।
 

सम संख्या- वे सभी संख्या जो 2 से पूर्णता विभाजित हो जाती है। सम संख्या कहलाती हैं। जैसे 2,4,8,10,24 आदि।

विषम संख्या- वे सभी संख्या जो 2 से पूर्णता विभाजित नही होती हैं। विषम संख्या कहलाती हैं। जैसे – 3,5,7, 9 आदि।
 

भाज्य संख्या- वे संख्या जो 1 या स्वयम के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से भी विभाजित हो जाती हैं। भाज्य संख्या कहलाती हैं।  जैसे – 4,6,9,12,15,18, आदि। भाज्य संख्या सम और विषम दोनों प्रकार की हो सकती हैं।
 

अभाज्य संख्या- वे संख्या जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित न हो विषम संख्या कहलाती हैं। जैसे – 2,3,5,7, 11,13,29,37 आदि। 2 एक अकेली ऐसी संख्या है जो अभाज्य है।
जिन पर दो संख्या का उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल एक होता है ,सह अभाज्य संख्या कहलाती हैं। जैसे 16 और 15  सह अभाज्य हैं। सह अभाज्य संख्याओं का अभाज्य होना आवश्यक नही है।
 

परिमेय संख्या- वे संख्याए जिन्हें p/q के रूप दर्शाया जाता है, परिमेय संख्या कहलाती है । जहाँ p व q दोनों पूर्णांक है तथा q का मान कभी शून्य नही होता है। जैसे 2/3 4/3 4/5 आदि। प्रत्येक पूर्णांक संख्या एक परिमेय संख्या होती है।


अपरिमेय संख्या- वे संख्या जिनको p/q के रूप में प्रदर्शित नही कर सकते हैं अपरिमेय संख्या कहलाती हैं। जहाँ p व q दिनों पूर्णांक हैं। तथा q का मान शून्य नही है जैसे √2 √5 आदि। πएक अपरिमेय संख्या है ,क्योंकि 22/7 π का यथार्थ मान नही है । यह इसका सन्निकट मान है।

वास्तविक संख्या- परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या के सम्मिलित समूह को वास्तविक संख्याये कहते हैं। जैसे 2/3 4/5  -2/4 -4/5 -√3 √5 आदि।

Tricky examples
Trick1
किसी दी गयी संख्या को 9,99,999…. से गुणा करना। इसके लिए गुणक में जितने 9 हैं उतने ही शून्य गुणज में दाई ओर लगाए जाते हैं। तथा गुणनफल प्राप्त करने के लिए इसके इस परिणाम में से गुणज को घटा देते हैं।
जैसे -7178×999 में गुणज= 7178 ,गुणक = 999
तब 7178× 999= 7178000- 7178= 7170822

Trick 2
किसी दी गयी संख्या को 11, 101 ,1001 से गुणा ।
इस नियम में गुणज के दाई ओर गुणक में जितना शून्य हो उसमे एक और शून्य जोड़कर गुणज को लिखते हैं तथा प्राप्त परिणाम में गुणज को जोड़ देते हैं। इससे प्राप्त अंतिम परिणाम गुणनफल होता है।
जैसे- 8271 को 101 से गुणा करना है
यहां गुणज=8271 , गुणक = 101
तब , 8271×101 = 827100+8271= 835371
 

Trick-3
5 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग ज्ञात करना।
इसके लिए 5 से पहले के अंक को उसकी अगली संख्या से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल के आगे 25 लिखने पर प्राप्त परिणाम ही संख्या का वर्ग होता है।
जैसे – 35 का वर्ग
35×35 = 3(3+1):25= 1225
 

Trick 4
किसी भी संख्या में 9 बनी संख्ययो से गुणा करने की विधि –दी गयी संख्या में 9,99,999……से गुणा करने के लिए सर्वप्रथम दी गयी संख्या के दाहिनी ओर क्रमशः 0,00,000,…रखकर उस संख्या को घटा देते हैं अर्थात उस संख्या में जितने 9 होते हैं उतने ही शून्य रखते हैं।
जैसे- 1123×99= 112300-1123=111177


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